Presented at the final round of the `AIG-prijs` (), 2 Jun. 2022.
In ingenieurstoepassingen modelleren we vaak systemen waarvan de toestand evolueert in de tijd op een onzekere manier. Een populair type modellen zijn Markoviaanse sprongprocessen, die kunnen dienen voor een breed gamma aan systemen: van de wachtrij aan de kassa van een supermarkt tot de verspreiding van een besmettelijke ziekte in een populatie. Deze modellen dienen om relevante prestatiematen uit te rekenen, zoals de verwachte tijd tot er niemand meer besmet is.
Drie problemen Ondanks hun populariteit kampen Markoviaanse sprongprocesmodellen echter met drie problemen: ten eerste is het vaak niet mogelijk om de karakteriserende parameters van deze modellen exact te bepalen, ten tweede voldoen de systemen die we willen modelleren vaak eigenlijk niet aan de onderliggende (wiskundige) aannames, en ten derde is het aantal toestanden van deze modellen dermate groot dat we de relevante prestatiematen niet meer kunnen berekenen binnen een aanvaardbare tijd.
Eén oplossing Dit proefschrift reikt een oplossing aan voor deze drie problemen. De eerste twee problemen worden verholpen door Markoviaanse sprongprocessen te veralgemenen naar Markoviaanse imprecieze sprongprocessen. De veralgemening bestaat er uit niet langer te eisen dat de karakteriserende parameters exact gegeven zijn – maar, bijvoorbeeld, gegeven door grenzen – en door de onderliggende wiskundige aannames te verzwakken. Dit proefschrift breidt de bestaande theorie van Markoviaanse imprecieze sprongprocessen gevoelig uit: van prestatiematen die afhangen van de toestand van het systeem in een eindig aantal tijdspunten – bijvoorbeeld het verwachte aantal besmette mensen morgennamiddag om vier uur – naar meer algemene, vaker voorkomende prestatiematen – bijvoorbeeld het verwachte tijdsgemiddelde van het aantal besmette mensen over een week of de verwachte tijd tot er niemand meer besmet is. Vervolgens richt dit proefschrift zich tot het derde probleem van Markoviaanse sprongprocessen. Eerst toont het aan dat voor een Markoviaans sprongprocesmodel waarvan het aantal toestanden te groot is, het ophopen van toestanden leidt tot een Markoviaans imprecies sprongprocesmodel met veel minder toestanden. Vervolgens bewijst het dat dit nieuwe model gebruikt kan worden om grenzen te berekenen op de relevante prestatiematen die anders niet berekend konden worden binnen een aanvaardbare tijd. In het bijzonder past dit proefschrift deze techniek toe om de spectrumversplintering in een optische kabel te onderzoeken.
Dit werk omvat dus niet enkel een omvangrijk theoretisch luik, maar geeft ook aan waarom en hoe deze theorie een meerwaarde kan betekenen in ingenieurstoepassingen. Heel kort samengevat, toont het aan dat het mogelijk is – en in sommige gevallen zelfs wenselijk – om de parameters van een (Markoviaans sprongproces)model slechts gedeeltelijk op te geven, alsook om minder aannames te maken.