Numerieke Analyse
Tweede
bachelor Wiskunde
Aansluitend bij het opleidingsonderdeel Numerieke Analyse zijn er momenteel een aantal applets beschikbaar, die de student kunnen helpen om een aantal theoretische en praktische aspecten van onderwerpen uit de numerieke analyse beter te assimileren. Deze applets maken deel uit van het pakket ILONA (Interactieve LeerOmgeving Numerieke Analyse), een project gecoördineerd door Marnix Van Daele. Deze applets zullen als volgt gebruikt worden:
- Tijdens de les: allerlei fenomenen kunnen geïllustreerd worden.
- Als zelfstudie: de ontworpen applets bieden de student de kans om meer inzicht te verwerven in een aantal numerieke methoden.
De applets die nu beschikbaar zijn staan hier, per hoofdstuk, opgesomd:
- Inleidende begrippen
Een veelterm wordt op drie verschillende manieren berekend en getekend.
Een bepaalde integraal met parameter n kan berekend worden aan de hand van een recursiebetrekking naar n. Dit kan aanleiding geven tot onstabiele berekeningen. Dit fenomeen wordt geïllustreerd voor vier bepaalde integralen. De fout wordt voorgesteld op 6 verschillende manieren.
Een grootheid wordt berekend aan de hand van een tweetermsrecursiebetrekking. Dit kan opnieuw aanleiding geven tot instabiliteiten.
- Lineaire stelsels en matrixdecomposities
Oplossing van een stelsel met de Gauss-eliminatiemethode (met pivotering).
De oplossing van een speciaal stelsel met de Hilbert-matrix wordt berekend (tot orde 20). Tevens kan men het conditiegetal van de Hilbert-matrix bepalen.
- Iteratieve methoden voor vergelijkingen en stelsels vergelijkingen
De Newton-Raphson-methode en de secansmethode worden geïllustreerd.
- Eigenwaarden en eigenvectoren
De methode van Jacobi voor de bepaling van eigenwaarden van een reële symmetrische matrix wordt stap voor stap toegepast. Voor matrices van orde 2 of 3 worden de eigenvectoren voorgesteld in een figuur.
Illustratie van het Gerschgorin-cirkeltheorema.
- Veelterminterpolatie
De interpolatieveelterm door een aantal willekeurige punten wordt opgesteld en getekend.
De interpolatieveelterm door een aantal equidistante punten (x,f(x)) gelegen op de grafiek van f wordt opgesteld en getekend.
- Approximatie
Illustratie van de discrete kleinstekwadratenaanpassing voor een gegeven aantal punten en een gegeven graad van de veelterm.
Voor een gegeven graad tekent de applet de Chebyshev-veelterm.
Deze applet tekent de
interpolatieveelterm door n punten (x,f(x))
in een gegeven interval. Hierbij is f een gegeven
functie en worden de knooppunten bepaald uit de wortels van de
Chebyshev-veelterm van graad n.
Deze applet tekent twee interpolatieveeltermen voor een gegeven functie f in een bepaald interval: (1) op basis van equidistante punten en (2) op basis van de nulpunten van de Chebyshev-veeltermen.
- Numerieke integratie - Kwadratuurfomules
Illustratie van Newton-Cotes-kwadratuurformules (gesloten en open type), enkelvoudig of samengesteld.
- Differentiaalvergelijkingen
Joris Van der Jeugt
Maart 2010